それわかるぅ〜

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応用代数学 ~群論入門~

応用代数学の講義メモ
確認しておくべき事項とか群論を学ぶ上で知っておくべき用語.

  • 群の条件
    結合法則」、「単位元の存在」、「逆元の存在」を満たす二項演算を持つ集合.

  • 位数
    群Gに含まれる元の個数を位数といい、|x|と書く.

  • 巡回群
    1つの元のべき乗で全ての元が表せるとき、その群Gを巡回群と呼び、位数nの巡回群C_{n}と書く.

  • 元の位数
    群Gの元xが生成する巡回群の位数を元xの位数という. すなわち、x^{n}=eとなる最小のnがxの位数. なお、有限群Gの元の位数は|G|の約数となる.

  • n次対称群
    nこの文字の置換操作すべての集合からなる群をn次対称群と言う. 従ってn次対称群の位数はn!である.

  • n次交代群
    n次対称群のうち、偶数個の互換の積で表すことのできる元の全体.

  • 部分群
    群Gの空でない部分集合Hが群Gの演算によって群と成るときHをGの部分群と呼ぶ. さらに、群Gの元の部分集合HがGの部分群であることを示すには、Hのなかに単位元が存在し、 \forall{a,b}\in{H}において、{a^{-1}b}\in{H}が成立することを示せばよい.

  • 群Gの部分群H, Kについて、HKもGの部分群であるとき、HK=KHである.
    結構使える定理.

  • 準同型写像準同型
    2つの群G, G'の写像f:{G} \to {G'}f(xy) \to f(x)f(y)を満たすときfを準同型写像もしくは準同型と呼ぶ. また、このとき、f(e)=e',\ f(a^{-1})=f(a)^{-1}である. さらに、この準同型写像もしくは準同型全体の集合をHom(G, G')と書く.

  • 同型写像、同型
    準同型fが全単射のとき、fを同型写像、同型と呼ぶ.

  • 右作用、左作用
    右作用は左結合の演算、左作用は右結合の演算.

  • 軌道
    集合Mの元mに対し、全ての群 G の元 g_{i}をmに作用させた写像g_{i}(m) の集合をG(m)と書き、mによるG-軌道と呼ぶ. なお、G(m)の要素は集合Mに含まれる. (演算が閉じている)

  • 軌道分解
    軌道に関する同値関係とは、ある集合Mの元m_{1}, m_{2}において、 g * m_{1} = m_{2}となるような群 Gの元gが存在することであり、 集合Mをこの同値関係に基づいて分割したものをMのGによる軌道分解と呼び、 M/\sim^{G}と書く.

  • 固定部分群
    簡単に言うと集合Mの元のうち群Gのどんな元gを作用させても別の要素に移らない元からなるのこと. イメージとしては 正八面体の上下の頂点を親指と人差指で持って(この点をa, bとする)、それを軸として90°ずつ回転させるような頂点の入れ替え操作からなる群を考えたとき、 親指と人差指で固定している2点は当然どんな操作でも移動せず、位数4の巡回群である固定部分群Ga, Gbが見つかる. ちゃんと書くならば、群Gが集合Xに作用しているとき、その固定部分群Gx
    Gx:=\{{g}\in{G}\ |\ gx=g\}
    として定義する.

  • 標準射影
    群Gとその正規部分群Nにより、Gの元をNによる剰余類に対応させた準同型写像f:{G}\to{G/N}が得られ、これを標準射影と呼ぶ.

  • 準同型定理
    準同型写像f:{G}\to{G'}が存在するとき、その核Kerf正規部分群となる(次に示す). 従って、k:{G}\to{G/Kerf}準同型写像となる。このとき、f':{G/Kerf}\to{G'}は同型写像となる.

  • 準同型写像の核は正規部分群である.
    割と大事な定理. 証明は核が部分群であることと、g{Ker(f)}{g}^{-1}=Hであることを示せばよい.

  • 自明な準同型 群Gの部分群AとBについて、f:{A}\to{AB}準同型写像である.

  • 第一同型定理

  • 第二同型定理

  • 右剰余類、左剰余類、剰余群/商群
    群Gの元aをその部分群Hのすべての要素を右から作用させた
    aH = \{ah|{h}\in{H}\}
    を右剰余類、
    Ha = \{ha|{h}\in{H}\}
    を左剰余類と呼ぶ. さらに、同じ同値類に属するGの元は同値であり、Gの元a, bが左剰余類に関して同値であるとき {a}\sim^{L}{b} と書く. また、これはa=bhとなるようなHの元hが存在するということであり、 これを利用して群GはH, aH, bH...として類別することができる. これを 「群Gの部分群Hによる類別」、「剰余集合」と呼び、G/H=\{H, aH, bH...\}と書く. なお、注意すべきは、{a}\in{H}のとき、aHHに類別される.

    cf) Hが部分群であるだけでなく、正規部分群のときこれを「剰余群」または「商群」と呼ぶ. さらに剰余群G/Nにおける群演算としてg_{i}N*g_{j}N=g_{i}g_{j}Nを定義することができる. これは
    {g_{i}N}{g_{j}N}={g_{i}(g_{j}N{g_{j}}^{-1}}){g_{j}N}
    として導くことができる. なお、商群の単位元と逆元はそれぞれeN(=N)a^{-1}Nである.

  • 指数
    上記の類別の要素数を指数と呼び、(G:H)と書き、 (G:H)=|G/H| である.

  • 正規部分群
    群Gとその部分群Hについて、Gの任意の元gでgHg^{-1}=Hであるとき、HをGの正規部分群と呼ぶ. また、両辺に右からgを掛けると、gH=Hg であるから、可換群の部分群は正規部分群となる.

  • 標準射影
    群Gとその正規部分群Nについて、 k:{G}\to{G/N}{a}\in{G}aNを対応させる準同型写像になる.

  • 単純群
    正規部分群が自明な部分群のみであるような群のこと.

  • ラグランジュの定理
    群Gの位数|G|とその部分群Hの位数|H|について、 |G|=(G:H)|H|の関係が成り立つ.

  • 共役、共役類
    群G上の関係で、Gの元a, bについて、gag^{-1}=bとなるような群Gの元gが存在するとき、 aとbは共役であると言い、{a}\sim^{conj}{b}と書く. また、aと共役なすべての元を共役類と呼び、[a]と書く.

  • 共役部分群
    共役の部分群バージョン. 群Gの部分群H_{1}, H_{2}において、H_{1}=gH_{2}g^{-1}となるような群Gの元gが存在するとき、H_{2}H_{1}の共役部分群であるという.

  • 任意の長さlの巡回置換はl- 1個の互換の積で表すことができる
    大事な定理.

  • 任意の置換は同一の数字が出てこない巡回置換の積で表すことができる
    大事な定理.

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